Diferensial Fungsi

A. Pengertian Diferensial/Turunan

Diferensial/Turunan suatu fungsi adalah laju perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabelnya.

Secara matematis:

atau   Y = f(x) 

Y’ = f’(x) =  =

Makna diferensial/turunan dapat diterapkan sebagai berikut:

• Menyatakan gradien/Tingkat kemiringan garis singgung kurva
• Menyatakan laju/kecepatan perubahan sebuah besaran (kecepatan, pertumbuhan, penurunan)
• Paramater analisis untuk mencari nilai maksimum–minimum

B. Aturan Dasar Turunan Fungsi Aljabar

1. Turunan Konstanta

2. Turunan Fungsi Pangkat

Contoh:

3. Turunan Fungsi Linear

4. Turunan Penjumlahan & Pengurangan

5. Turunan Perkalian Konstanta

C. Turunan Fungsi Aljabar Bentuk Khusus

1. Fungsi Rasional

Bentuk:

Aturan:

Contoh:

2. Fungsi Akar

Bentuk akar diubah menjadi pangkat pecahan:

Contoh:

3. Fungsi Eksponensial

Khusus:

Contoh:

4. Fungsi Logaritma

Khusus:

D. Penerapan Diferensial/Turunan

1. Mencari Gradien Garis Singgung

Gradien di titik :

2. Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum

Langkah:

1. Cari turunan pertama
2. Tentukan titik kritis
3. Uji maksimum/minimum

 

3. Masalah Optimasi Keuntungan/Laba

Digunakan untuk:

• Luas maksimum
• Biaya minimum
• Keuntungan maksimum

 

4. Menghitung Kecepatan dan Percepatan

• Kecepatan:
• Percepatan:

 

E. Rumus-Rumus Diferensial Fungsi 

Untuk u, v dan w = fungsi dari variabel x

1. y = u ± v     ==>     dy/dx = du/dx ± dv/dx

2. y = u . v      ==>     dy/dx = (du/dx).v + (dv/dx).u

3. y = u.v.w     ==>     dy/dx = (du/dx).v.w + (dv/dx).u.w + (dw/dx).u.v

4. y = u / v      ==>     dy/dx = [(du/dx).v – (dv/dx).u] / v²

5. y = uⁿ          ==>     dy/dx = n.u^n-1.du/dx

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh 1:

Tentukan turunan dari:

Jawab:

Contoh 2:

Turunannya:

Contoh 3:

Contoh 4:

Contoh 5:

Tentukan titik maksimum dari fungsi berikut:

Turunan:

Nilai maksimum:

Latihan Soal 

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini:

1. f(x) = 3x² + 4x – 1

2. f(x) = (3x² + 1)(-x² – 3)

3. f(x) = (2x + 5)/(3x + 4)

4. f(x) = (2x + 5)⁴

5. f(x) = 3x³ + 4x² – 7

6. f(x) = (5x³ – x² + 2)(4x² + 7x – 1)

7. f(x) = (3x² + 4)/(10 – 6x)

8. f(x) = √x² + 6x – 2

9. f(x) =   1/x²

10. f(x) =  -3/(2x + 1)²